数学里最美的恒等式——欧拉恒等式

发布者:魏岩发布时间:2021-07-09浏览次数:6219

数学就像奇妙的花丛,一个个公式就像一朵朵花。但如果要你选一朵最美的花,你会选哪一朵呢?这的确是一个很纠结的问题。比较公认的观点是著名的欧拉恒等式e^(iπ)+1=0,因为这个公式精简却无比美妙。e、i、π、1、0不正是数学中最常见、最重要的五个常数吗?

莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一,也是人类历史上最杰出的数学家之一。作为一个多产的数学家,欧拉贡献不可估量,他提出了许多对现代数学不可或缺的概念。

在欧拉的一生中,它出版了885份关于关于数学和其他学科的论文和书籍。即使是后来失明了,他仍然笔耕不辍。欧拉在失明之后还打趣地说:现在我就更不会分心了。 以勤奋著称的欧拉,用他那惊人的记忆和心算能力弥补了视力的丧失。在欧拉一生丰硕的成果中,有一个以他名字命名的公式被誉为上帝创造的公式,那就是欧拉恒等式。

这个公式以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来,其中涵盖了数学中最重要的几个常数,这个公式堪称是最美的数学公式。

(1)其中e是自然常数或者欧拉数,这是在微积分中广泛运用的自然对数的底数。这是一个无理数,也是一个超越数,它的值为2.71828……

(2)i是一个复数或者是虚数单位,也是-1的平方根或者方程x^2+1=0的解。虚数在电子工程中极为重要,并且也在量子力学中得到应用。

(3)π是圆周率,这个常数不需要任何进一步的介绍,因为这是世人皆知的数学常数,在欧氏几何学和广义相对论中无处不在。

(4)自然数1, 任何数与之相乘都是本身。

(5)自然数0, 任何数与之相加都是本身。欧拉恒等式就是结合了这五个基本常数而建立的。

如果几何直观地理解了它,那么就再也不会将之遗忘或写错。

先说一个实数可以在实数轴上用一个向量表示,向量长度表示其绝对值,而向量方向可表示其是正数还是负数。

一个实数乘以一个实数向量,还是一个实数向量,这个向量仍然在实数轴上。

要使向量脱离实数轴,向另一个维度旋转,那么,就可以乘以一个虚数i. 一个向量乘i这个代数运算,几何意义就是把向量旋转到另一个正交维度上去。

i^0, i^1,i^2,i^3,i^4, 等等,就表示原代表实数1的实单位向量,依次地每次逆时针旋转π/2, 所以结果就是1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。(就像时针从3点逆转到12点,再逆转到9点,再逆转到6点,最后转回到3点。)

实单位向量保持长度不变旋转θ角度,得到一个向量,表示就是:cosθ+isinθ;再根据欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + isinθ, 于是e^(iθ) 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。

e^(iπ)意味着把1向量旋转π角,显然这得到的是-1,然后与1合并可抵消得到0 ,这样即可几何直观地理解欧拉恒等式。